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为什么PLL中的可编程分频器不直接使用counter
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如何实现任意分频？
在设计PLL的可编程分频器（MMD）的时候，级联式结构的MMD到底是怎么设计出来的，惊为天人！
我想知道前辈们是怎么想的。所以，下面开始我的推导。
从直觉出发：分频下意识会如何实现？用计数器
对于分频器，我们最先想到的方案就是用计数器。
2 分频：计数为 1 时输出高电平，为 0 时输出低电平；
3 分频：计数到 2 时输出高电平，回到 0 时输出低电平；
4 分频：以此类推……
这样做的问题是：不同的分频比，需要不同的判断逻辑，2分频需要判断什么时候计数为1，3分频需要判断什么时候计数为2。
这不仅增加了逻辑判断的复杂度，如果想做一个任意分频器会极其不友好。
如何简化判断逻辑？使用减法计数器
在设计一个MMD时，如果想要避开这个复杂的逻辑判断，如果我们不考虑占空比的问题，可以采用一个减法计数器。
设置计数器初始值为分频数 N；
每个时钟递减；
当计数值为 1 时输出一个脉冲。
这样就可以通过触发器的置数去解决判断逻辑复杂的问题了。
这种方式逻辑简单，但占空比不固定。不过在多数 PLL 场景下，这一点是可以接受的。使用减法器可以解决
那么是同步 vs还是异步计数器？
考虑实现细节：
同步计数器逻辑一致、速度稳定，但功耗大、延迟随 bit 增加；
异步计数器功耗小，但高频率下会因为时钟延迟导致多 bit 时失效。
通常我们会选择异步计数器，实现简单，并且功耗低。
两种计数器都遇到同一个问题，随着bit数增加，计数器工作不了在较高的频率
于是我们提出一个问题：
计数器会受频率和bit数的影响，如何让计数器的工作频率提高，并且bit数增加呢？
如何提高计数器的工作频率？
提高计数器的工作频率有两个方向：①硬提高，换先进工艺；②遇到频率高的信号，先降频再用计数器分频。
这里不考虑换先进工艺的方法，考虑计数器前面先增加一个预分频器，降低计数器的工作频率，这样整体的工作频率就提高了。
但是：
预分频器如果是2分频，那么整体的分频只能是2的倍数。
预分频器如果是3分频，那么整体的分频只能是3的倍数。
可恶的是，实现不了任意分频
如果单独一个分频不行，那可不可以用两个分频组合呢？
这让我们陷入一个新的思考：
有没有什么组合方式可以通过两个简单分频器组合出任意整数分频？
问题转化为“数学问题”
我们现在关注的问题是：
能否用两个基本分频单元，组合出任意整数分频？
这其实是一个经典的数学问题：Frobenius 问题（零钱找零问题）。这还是我问AI得到的答案。
对于互质的 m 和 n，最大的无法被表示的数是 g(m, n) = m*n - m - n。
比如：
对于 2 和 3，g(2,3) = 6 - 2 - 3 = 1；
说明只要大于 1 的数，都能通过 2 和 3 相加构造出来！
也就是说：
2 = 2
3 = 3
4 = 2 + 2
5 = 2 + 3
6 = 3 + 3，或 2 + 2 + 2
...
所以，只要能实现 2 分频和 3 分频模块，就能通过组合方式实现任意 >1 的整数分频！
为什么选 2 和 3？而不是 2 和 4、2 和 5？
2 和 4 不互质，不能表示奇数；
2 和 5 的 g(2,5) = 10 - 2 - 5 = 3，不能表示小于 4 的分频；
并且2和3的组合比较有规律，如果是2和5，5=5，6=2*3，7=2+5，8=2*4，9=2*2+5，不像2和3组合，可以非常有规律，规律意味着电路简洁。
当然，目前论文也有4/5分频的，他们不能表示小于11的分频，并且实现会更复杂。
因此，2 和 3 是构建任意整数分频的最小组合，电路实现也较为简洁。
两个预分频，counter需要如何设计？
由于两个分频，2分频或者3分频，那么应该是有两个counter，一个计数2分频，一个计数3分频
并且2分频和3分频不能同时打开，因此，这两个counter应该是分开运行的。
由于两个counter需要连续计数，那么第一个counter计数完后，应该会有一个触发信号告诉第二个counter开始计数。
综上，PS counter分频器被发明出来。PS counter分频器为，假设预分频为n/n+1分频，第一个counter计数周期为P，称为P counter，第二个counter计数器周期为S，称为S counter。由于P counter只计数到S就会让S counter开始计数，那么实际的分频为（P-S)*N+S*(N+1)=P*N+S。
疑惑为什么PS counter的预分频是n/n+1分频。但实际应用中，其实通常用2/3或者4/5，很少见到3/4分频。但根据我们的理论，只要是互质就可以。
但在实际应用中，由于2/3分频设计更简单，通常使用2/3分频，切换只需要断开一个触发器即可。
既然counter能通过预分频降低counter比特，那PS counter中的counter能不能继续降低比特
知道PS counter是如何设计出来后，自然会想，既然counter能通过预分频降低counter 比特，那我是不是可以继续降低counter的比特。
但是，PS counter加了预分频之后，从一个counter变成了两个counter，我如果要继续通过预分频的方法降低counter的话，那再加一个，得变成四个，电路的复杂度呈指数增长。有没有什么预分频组合比较适合级联呢？或者说，可以消除一个counter。
我们发现，还是2/3级联比较好，如下看2/3实现任意>2的整数
2 = 2*1
3 = 3*1
4 = 2*2
5 = 2*1 +3*1
6 = 2*3
7 = 2*2+3*1
2/3预分频中，3分频的counter可以是一个计数为1的counter，这完全可以用一个一周期的电平替代，这样，就减少了PS counter的S counter了。那么继续通过预分频器降低counter比特数就可以实现了。
这样，级联式的分频器就被思考出来了。
假设需要100分频，通过2/3分频级联式的，如此分解：
100=2*50+3*0
50=2*25+3*0
25=2*12+3*1
12=2*6+3*0
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4/5分频能实现级联式的分频器吗？
4/5分频组合能表示4*5-4-5=11，从12开始设计，如下：
12=4*3
13=4*2+5
14=4*1+5*2
15=4*0+5*3
16=4*4
17=4*3+5*1
通过这些例子，可以发现，4/5分频的话，P counter和S counter的数量会指数级增长。
后续
后续会将MMD的电路设计思路还原，为什么电路会那样实现，为什么2/3分频需要有modin和P信号，欢迎关注后续内容。eetop的markdown格式有一些问题，排版不好看。
参考文献
JSSC-2000.A Family of Low-Power Truly Modular Programmable Dividers
in Standard 0.35-m CMOS Technology
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