前言

上一篇文章说到除了dither，还有什么方式去抑制SDM的spur？，不使用dither，可以通过不同的方式去延长MASH结构的周期长度。其中有一种变形结构HK-MASH能延长传统MASH结构的序列周期，并且底噪会比加dither的MASH111结构好，那么，这是如何想到这种结构的呢？

直觉入手

首先，还是需要从我们能看到的入手，先分析一下传统MASH结构一阶的SDM是如何循环的

可以看两个例子

①输入 1/10。序列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0循环；只有一个循环；长度为10

②输入2/10。序列为2，4，6，8，0或者1，3，5，7，9循环；有两个循环；长度为5

可以发现，不同的输入，输出的序列会有不同的序列长度，以及不同的循环个数。那序列长度和循环个数由什么决定呢？

这个数论中模运算可以给出答案

输入为固定分数p/q。则序列长度为L=q/gcd(p,q)，其中gcd(p,q)是p和q的最大公约数。

循环个数为gcd(p,q)

我们可以发现，当循环次数为1的时候，周期长度是最长的，因为遍历了分母的所有数字。有多个循环的长度自然就少了。那很自然，我们可不可以把所有循环都用上呢？

如何把所有循环都用上？

我们是不是可以，在循环一个之后，再循环下一个周期呢。比如2/10，有两个周期，2，4，6，8，0，和1，3，5，7，9。那我可不可以再第一个周期为0的时候，下一个循环是1，3，5，7，9中任意一个数字，这样就能形成2，4，6，8，0，1，3，5，7，9，这样的长度为10的序列了。

那如何打破这种循环呢？其实很简单，就是在你想跳到下个周期的时候，改变分数的分子或者分母。

在这里HK-MASH选择改变了分数的分子，至于改变小数的分母困不困难，有兴趣的话可以自己研究，说不定又是一篇论文。

那么，问题又来了，对于这么多不同的输入，想要改变分数的分子，那我应该改变多少，怎么改变呢？我可以在一个周期序列结束之后，稍微改变分子，比如说2，4，6，8，0的时候加3，这个时候就跳到3了，循环就变成2，4，6，8，0，3，5，7，9，1，4这样循环周期一下子就变长了，从长度5变成了长度10。这个就是HK-MASH的基本思想。

而HK-MASH的示意图中的a，是控制分子改变的多少，对于不同的分母，会有不同的系数。

比如，在2/10这个输入，a=1，循环的周期就是2，4，6，8，0，3，5，7，9，1，4，6，8，0，3，周期长度变为了9，远远大于2/10的5。

HK MASH结构的缺点

①平均值会有误差

从上面的序列，我们发现，我们在累加的过程中增加了数值，所以平均值会随系统中的数值偏移，具体偏移了多少呢？请看HK-MASH的系统函数

相当于输出是输入的（1-α）倍，这里的α是经过归一化的，假设mod为M，电路中反馈系数是a，那么α=a/M，比如论文中采用的M=2^19,a=1,那么输出是输入的（1-1/2^19)倍，会有些误差，但不是特别大。

这个系统函数相当于在原来MASH结构又乘了一个极点为α的系统，α接近原点，因此稳定性没有问题。

均值误差如何解决？

如果要达到均值和原来一样，那么输入需要乘（1-α(1/z)),论文中的做法是在输出乘一个系统函数，但是，输出范围就会从MASH的[-3,4]变为更大的范围了，在PLL中，这可能会影响鉴相器的工作范围。并且比较难实现，系统函数中的α是一个归一化的值，是一个小数。

另一个方法就是在输入分频比的时候，通过手动计算一下，按比例缩小，这个对于输入是一个固定分频的PLL是可以的。

②反馈系数a的硬件实现

在论文中，a有可能是1，3，5，7，9等等系数，如果是1的话，比较好实现，但如果是3，5，7，9等数字，这个会影响到SDM的工作频率，实现起来会更复杂，可能需要更多的流水线（pipeline）去实现更高的频率。

HK MASH和传统MASH的simulink对比

我们可通过仿真看看HK MASH结构的性能，SDM为24bit，输入为0.5

一、不加dither的MASH 1 1 1结构

①图1为功率谱，明显出现spur；

②图二为前1000个SDM的时域信号，序列均值为0.499985，存在一些误差；

③图三为输出序列的分布，可以看到只有[-1,2]的取值，并没有-3，-2，3，4这些值；

④图四是不同计算方式的功率谱对比

二，加dither的MASH 1 1 1功率谱仿真图

①图1为功率谱，没有spur，近似斜率为56.67dB/dec；

②图二为前1000个SDM的时域信号，序列均值为0.5000065000，误差较小；

③图三为输出序列的分布，可以分布[-3,4]，并且服从高斯分布；

④图四是不同的计算功率谱的对比

三，HK-MASH结构仿真图

①图1为功率谱，没有spur，近似斜率为57.89dB/dec，比MASH 1 1 1的大些；

②图二为前1000个SDM的时域信号，序列均值为0.4999995，存在一些误差，误差比MASH大（这里输入并没有做处理）；

③图三为输出序列的分布，可以分布[-3,4]，并且服从高斯分布；

④图四是不同的计算功率谱的对比

四，带dither的MASH 1 1 1和HK MASH比较

图中显示，确实如论文所说，HK MASH会比MASH结构底噪好一些

思考：在PLL应用中是否可使用呢？

对于PLL，由于底噪比MASH 1 1 1结构的更低，HK-MASH结构的SDM确实值得尝试一下，不过需要考虑硬件实现方面的问题，由于多了一个反馈回路，时序裕量可能会更严格。至于平均值的误差，完全可以靠外部实现。

文献

①TCAS Ⅰ2007.Maximum Sequence Length MASH Digital Delta-Sigma Modulators