喜欢自学的禾粉，肯定偷学过Stanford大学或UC Berkeley大学的EE类课程的教学视频。其中，斯坦福大学Murmann教授的EE214的课程用了一个章节来详述了gm/id方法[1]。gmid方法作为模拟/射频电路设计的必备技能而被广泛应用。今天，小禾君就来详细地讲解一下gmid方法的本质。

gm/id方法的起源

大部分人理所当然的认为gmid方法的提出者来自Stanford和UC Berkeley这两所大学。事实上，gmid方法确实来自学术界，早在斯坦福大学和伯克利大学之前，业界已经因为鲁汶大学的Jespers于1996发表在JSSC一篇的文章炸了锅[2]，众所周知，能发表在顶级期刊上的东西含金量肯定高。gmid的方法一经提出就受到了热捧。2010年左右gmid方法已经成为了业界通识，Springer还专门出了一本书籍来讲解gmid方法[3]。

2017年Jespers 和Murmann 两位大牛联袂，《Systematic Design of Analog CMOS Circuits: Using Pre-Computed Lookup Tables》一书将整个理论和流程整理得更顺畅了，尤其是本书配套了大量matlab代码，非常实用。

除了大牛笔耕不辍，很多民间高手也在钻研这种方法，先后包括chris、Eric Yeh、Master-micro、Hafeez KT都录了相关视频。chris算是国内民间的名人了，早年翻录了EE240视频，堪称初学者的福音，后来在网易云开课，讲解模拟电路设计相关的知识，值得注意的是他的gmid曲线的绘制采用的是Spectre配合Ocean脚本的方式来完成的。台湾半导体研究中心的Eric Yeh详细讲解了用ADE explorer绘制gmid曲线，以及设计五管运放和Fold-cascode运放的实际例子。Master-micro公司录制视频很大程度上是为了推广该公司的Toolbox软件（这其实是个插件），该视频中对于gmid方法的实质和理论依据概括还是很到位的。Hafeez KT的视频是很好，既有理论又有Spectre实操，就是三哥这口音有点炸裂。

平方率模型 VS计算机模型

半导体EDA发展初期，使用Hspice的level1模型就能完美预测MOS器件的特性。随着特征尺寸的减小，一些奇怪的效应陆续出现，导致原来的level1模型根本不够用了，以至于从level1，level2，level3.。。。。。到现在已经有超过50个复杂的仿真模型了，目前计算机普遍使用的是BSIM3V3(对应于Hspice中的level49)的模型，经过这么多年的努力，模型设计者也放弃了物理意义至上的原则，，淡化了器件的原理，逐渐转变为经验参数(多阶拟合的方式)，模型中参数个数由14个增加到了上百个(BSIM第三版有约180个参数)，可以说工程师把一切脏活累活全都甩给了计算机。

拿一个普通的65nm的管子来说，典型的Vds~Id曲线有着很大的区别，不仅数值差很多，而且曲线的形状也发生了巨大变化。手算和仿真甭提拟合上，计算的结果经常差个十万八千里也不足为奇。就这样，随着MOS管平方率模型走线结束end-of-life，终于模拟电路工程师发现“奶酪”不见了。一部分模拟仿真者干脆直接跳过手算，直接tuning电路，这就变成了大佬嗤之以鼻的“Spice Monkey”。为了不被嘲笑，有些模拟设计者学会了“劳动成果转化”。把仿真得到的关于gmid一系列曲线，强行占为己有，死活不承认自己是spice monkey，强词夺理说自己这是在——查表(Lookup table)。

gm 与 id的关系？

对于放大管，哪两个参数最重要，答案无疑是：gm和Id这两个参数。gm决定了增益，id决定了功耗。

对于饱和区，我们依据平方率模型，gm的三种表达式：

我们看一下三极管的gm，这个后面我们会用到。

观察三极管的gm/Ic=1/26mv=38.5

你可能没想到，三极管的gm/Ic居然是个常数——38.5

注：Vgs-Vth=Vov，Vov称为过驱动电压。

对于饱和区MOS管：

gm/Id=2/Vov

有意思来了，随着Vov减小，gm/Id会越大，这个发现让我们不由得灵魂一颤，如果让Vov取值很小，那么跨导电流效率会非常高，意味着，用很小的电流就能获得足够大的gm！从公式看确实如此，但坏消息是，随着Vov的减小，器件逐渐进入亚阈值区。

亚阈值区电流公式：

此时跨导公式：

这下完了，由于

说明MOS管的gm/Id永远比三极管差(命运啊！)，也就是永远无法超越38.5。MOS管和三极管区转换点是能够衔接的，也就是转换点同时满足饱和公式和三极管区公式。

我们实际仿真MOS一组gm/id随Vgs的变化，果真，诚不欺我，永远<38.5。

这里有个小插曲，看过sansen的《模拟电路设计精粹》一书会经常提到过驱动取值，很随性的就选择了Vov=4*vt=200mV，这个200mV怎