一文搞懂——电路中的零点和极点

原创 芯评气和 芯评气和 2023-06-03 21:02 发表于北京

今天小禾君闲来无事逛某论坛，看到关于零极点的一个求助贴。先看问题：

总结一下这个问题：右半平面极点s域转成时域看是不稳定的，但是从波特图看相位裕度是满足稳定条件的，两种分析来得到的结论是相反的为什么？

书本中对于右边平面的极点分析少之又少，这个 s域分析和时域分析结论截然相反成为了信号与系统领域的“千古悬案“。先不急着回答这个问题，小禾君带你进入零点和极点的世界先瞧上一瞧。

      正弦稳态响应

当线性时不变动态电路被角频率为ω的正弦电压源或电流源激励时，随着时间的推移，电路的暂态响应逐渐消失，只剩下角频率为ω的正弦波稳态响应。当电路中全部电压和电流都是角频率为ω的正弦波时，我们称电路处于正弦稳态。

图：线性时不变系统的稳态波形

简单来说，一个线性时不变系统，系统稳定后，输入正弦信号，输出的也是正弦信号，这就是正弦稳态分析的基础。

举个例子：求正弦信号输入下，某个RLC组成的线性时不变系统的输出波形？假设电路中各部分初始状态均为0。

图：线性时不变系统的稳态波形求解

只有RLC组成的电路肯定是线性时不变系统，输入是个正弦激励，求其输出波形，我们先用最正统的万能方式求解——微分方程求解。

1.列出系统的微分方程

2.求出通解，包含齐次解(自由响应)和特解(受迫响应)。

3．采用边界条件，求出通解中的系数。

求解过程看似简单，实际此处省略了一万字。。。。。。这里不用求解也会知道，输出信号的波形开始包络是变化的(幅度不稳定的)，等到一定时间后，信号趋于稳定，输出也呈现出正弦波形态。

图：线性时不变系统的瞬态波形

那么vout开始这段不稳定的状态重要不？答案是——不重要！

图：数字调制和瞬态波形

实际中，建立时间一般不会太长，对于信号，尤其是数字信号的解调来说影响不大。那有不明白的小明就要问啦，现代射频通信动不动就是100M的带宽，那么看信号周期岂不是10ns？建立时间有个1us，那不直接就G了？其实通信中的100M带宽其实是个组合带宽，一个100M下分为多个RU，每个RU又有多个子载波，这样一级一级分下来，子载波带宽也就100K附近，那么整个信号周期持续时间要经过10us。

图：通信带宽、RU、子载波的关系

罗里吧嗦说了这么多，其实就是一个结论——正弦输入下，开始不稳定的那段不太重要，我们主要看稳态后的那里的波形。

无论初始状态如何，有一点是可以肯定的，那就是输出最终会稳定到正弦形态。输入输出信号，仅仅是在幅度和相位上有差异，二者的频率不会有差异。

输入信号：

稳定后的输出信号：

那问题来了，有没有情况下，系统最后稳定不到与输入同频的正弦波呢？

当然有啦，那就是电路中出现了负阻，正电阻消耗能量，负电阻恰恰相反，它产生能量。产生的能量不断叠加到波形上，波形幅度最后趋于无穷大。当然，这只是个理想的数学模型。实际电路中，譬如以振荡器为例(主要原理也是负阻)，它，震荡幅度受限于电源电压和器件的非线性，致使振荡器幅度到达一定程度后不再增加，最后稳定下来。

向量法

既然，我们只关心稳态下的信号的幅度和相位变化，那么除了列微分方程还有什么其它更简便的方法吗？答案那就是“向量法”。

相量法的初衷是：如果输入是正交信号，那么输出的信号还是正交的两个信号。将输入正弦信号(Asinwt)改成一个正交信号coswt+jsinwt，看似画蛇添足了的举动，实际这样化简了计算，尤其是手算或者EDA计算。

图：向量合成

注意：coswt+jsinwt是个正交信号，而coswt+sinwt其实还是个单音信号。

图：向量法求线性时不变系统输出

可以得到线性时不变系统的幅度sqrt(I²+Q²)，相位变化arctan(Q/I)。向量法真正简化电路计算还得依靠器件的向量模型说起，有了向量模型，可以根据KCL，KVL直接列算数方程，最终求解得到的H(jw)的幅度和相位就是该系统对于正弦信号的幅度和相位的改变。这个方法一直苦于没有理论基础，直到伟大的拉普拉斯变换的出现。这里省略1W字的证明过程。

       表：器件的s域模型

注：有个有趣的疑问，为什么cos是用I表示，sin是用Q表示？

所以，向量法或者说拉普拉斯算子法求解输出比输入的复数表达式H(s)或者H(jw)和我们用微分方程计算得到的幅度和相位结果完全一致，这就是我们学习传输函数的意义。

传输函数的定义：系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称之为“系统函数”，以H(s)表示。那么问题来了，输入正弦/余弦/锯齿波等不同信号时，H(s)是否是不变呢？答案是肯定的。H(s)的表达式，不会随着输入信号的选取而发生变化。

经验证：传输函数H(s)采用微分方程和拉式变换后得到的结果，居然和采用s域模型输出/输入得到的结果一致。并且这样做的准确性不需要怀疑。

s域和时域的关系

s域只是一个过渡，一切只是为了简化时域的响应分析。所以最终的验证还是要考察时域。下表是一些常用函数的s域与时域的关系。

表：常用s域与时域信号转换

由此我们得到了问题中的第一个结论：只要极点出现在右半平面(RHP)，那么整体信号的幅度(包络)就是不断增大的，这个是课本上白纸黑字写出来的，当然是没有问题的。

以一阶RC为例，其传输函数

很容易计算得极点P₁=-1/RC。显然，如果R为负值，那么P1将出现在右半平面。这就是说负阻会产生右半平面的极点。禾粉们可以自己通过Spectre仿真器的PZ仿真来验证。

零极点的由来

有了电路的s域模型，简单的列KCL和KVL公式，就可以求解出最终的传输函数H(s)啦，由于采用了s域模型，剩下的就是简单的加减乘除，没有积分微分的运算，所以，往往我们求解出来的H(s)大多都可以用个通用大分式来表述:

S看成是未知数，所有让分子等于零的点就是零点：z_i  所有让分母等于零的点就是极点：p_j

这样看起来还是不太直观，幸好有个定理：s域相加的两个信号，可以分别转换到时域再相加。当H(s)不存在多重极点时，我们可以把它展开成部分分式的形式，也就是化成单个的式子，最后时域的波形就是每个逆变换后结果的叠加。h(t)=h1(t)+h2(t)+h3(t)......

注：怎么求部分分式的系数Kj呢，我们可以直接将部分分式通分，再和H(s)进行系数对比，就可以得到所有的Kj值了。

波特图

观察H(s)的公式你会发现，如果令s=jw，H(jw)就变成了频率的函数，分析H(jw)的频率响应就会用到波特图（Bode plot）。

波特图是一种用于描述线性时不变系统频率响应的图形。它通常由两个图形组成：振幅响应图和相位响应图。振幅响应图表示系统在不同频率下输入和输出信号的幅度比值，而相位响应图则表示系统在不同频率下输入和输出信号的相位差。

波特图的作用主要有两个方面：

分析系统的频率响应特性。通过观察波特图的形状和特征，可以了解系统对不同频率的输入信号的响应情况，包括增益和相位变化等。这对于设计和优化系统的性能非常重要。

用于系统设计和调整。波特图可以帮助工程师在设计和调整系统时选择合适的滤波器、放大器或其他组件，以满足系统的性能要求。通过调整组件的参数，可以改变系统的频率响应，从而达到所需的性能指标。

总之，波特图是一种非常重要的工具，可以帮助工程师更好地理解和分析系统的频率响应特性，从而实现系统的优化和调整。

波特图由两组图组成，一个是看H(s)的幅度随频率的变化，称为幅频特性曲线，另外一个是H(s)的相位随频率的变化，称为相频特性曲线。

图：幅频特性曲线

图：相频特性曲线

继续观察H(jw)的公式你会发现，当频率很