芯评气和 芯评气和 2023-06-17 15:20 发表于北京

模拟工程师最后的尊严

    模拟电路工程师最引以为傲的两项技能：小信号模型计算和传输函数的零极点分析。但是，自从基于Spice Level1（Schichman-Hodges model）的手算方法被拟合度更高的gm/Id方法代替后，零极点分析成了模拟电路工程师们最后的尊严。

对于波特图的学习大概要追溯到《工程电路分析》这门课程，由于难度不大，模拟电路工程师对于此项技能基本都是满分的存在。但是今天小禾君要告诉你的是，用奈奎斯特稳定判据来分析电路稳定性才是当今的主流。

20世纪30年代初，关于控制和反馈控制的理论研究进入百家齐鸣的局面，而当时还没有出现个人计算机，就连“自动化“这个概念还是几年后才提出。

当时工程师苦解微分方程久已，不可否认当时贯通控制理论和微分求解的大牛确实存在，但对于普通学渣工程师来说，可能根本都不懂微分方程是个啥东东。

Bell实验室同事这么卷的吗？

1930年Bell实验室的亨德里克·韦德·波特发现解微分方程确实麻烦，在观察拉普拉斯算子求得的传输函数时，发明了用幅频特性和相频特性表示的波特图，开环特性以及其接成反馈系统后的闭环稳定特性一目了然，所以波特图一经发明就受到热捧。Bode发明波特图，在这场互卷大战中取得先机。

1932年，同在Bell实验室的哈里·奈奎斯特非要另辟蹊径找到比Bode图还要简便的方法。幸运的是，真让他找到了，那就是我们现在说的奈奎斯特稳定性判据。

历史的选择是两种方法都得到了保留，即便到了今天，号称模拟电路设计圣经的——《Design of Analog CMOS Integrated Circuits》在第二版里也不惜使用大量篇幅来讲解奈奎斯特稳定性分析方法。相比bode图方法，奈奎斯特方法只需检查对应开环系统的奈奎斯特图，不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用（虽然必须已知右半平面每一种类型的极点的数目）。

波特图与奈奎斯特图的异同

通常我们的分析过程是这样的：首先使用器件的s域模型，列好了KCL，KVL，进而求解出输出/输入的表达式，也就是传输函数H(s)。通过分析传输函数的特性我们反推出时域的响应。波特图和奈奎斯特图本质上都是分析传输函数的工具。下面具体看一下二者的区别：

l区别一：自变量取值范围不同

众所周知，H(s)的自变量s=σ+j ω，我们求解传输函数后H(s)，绘制波特图的时候，一般都是只取虚部令s=jω，这是为何呢？

傅里叶变换

拉普拉斯变换

对比下面傅里叶变换和拉普拉斯变换定义式，很明显，s=jw时，拉氏变换就转化成了傅里叶变换。

所以波特图限定了σ=0，而奈奎斯特图让s放飞自我，在整个s平面移动。

l区别二：表述H(s)的方法不同

波特图是拆分成两张实坐标图，分别表述H(s)的幅度和相位。而H(s)则选择“原汤化原食”，s选了复数坐标，那么H(s)还是是用复数坐标来表述。

咦，这么看奈奎斯特啥也没干呀，会不会是在糊弄我？其实奈奎斯特分析方法的精髓就在于“不求甚解”。

      ”奈”的魔力转圈圈

对于奈奎斯特稍有耳闻的禾粉会知道，其实奈奎斯特就是绕圈圈。在模拟电路中，只有反馈电路才存在不稳定的问题，开环分析Bode图也是为了解决闭环使用时的稳定问题。

下面是个简单反馈的例子，反馈我们设定为一个与时间无关的常数β。

列出传输函数：

其中βH(s)为开环增益，如果分母（1+βH(s)）在右半平面和j轴有任何的为零的点，都会导致转化成时域时，幅度持续增大，也就是不稳定的。那我们把注意力集中在R(s)=1+βH(s)这个式子上，这个表达式需要满足不存在零点。

注意：1+βH(s)的极点和H(s)相同，但是两式的零点并不同。

      物理界遇到解释不了的东西，或者作者懒得解释的东西，那就直接搞个定理，请原谅小禾君，这里不厚道的搬出了柯西幅角定理。

柯西幅角定理：若s 的封闭轨迹为顺时针方向，且包围H(s)的P 个极点和Z 个零点，那么H(s)的极坐标轨迹图将以相同的方向绕原点旋转Z-P圈。

这个柯西定理看起来跟我们稳定性还是没啥关系，其实，这个柯西定理的精髓在于反向操作。

我们还是以R(s)=1+βH(s)为例，并假定右半平面不存在极点，这对于大多数电路都是成立的。现在就是求R(s)在右半平面有没有零点？选择右半平面一个超级大的范围，我们画一个闭合曲线。此时，求右半平面是否存在零点的问题，等价于求这个超大闭合区间内是否存在零点。

逆向使用柯西定理的方法如下，如果我们通过估算或者计算机描绘，知道了βH(s)的轨迹图，其围绕-1,0绕了M圈。并且该区域内极点数P=0，很显然Z=M，也就是说如果βH(s)不围绕-1,0绕圈，那么该区域就不会出现零点——电路也就是稳定的。

注：柯西定义为已知Z和P，求M。反向操作的过程为已知M和P，求Z。

注：我们考察1+βH(s)=0与求βH(s)=-1是等价的。

       此时，肯定有不少禾粉怀疑这个方法的准确性，1+βH(s)不为零那就一定是稳定的吗？是否存在例外情况呢？很遗憾，这定理说的就是个充要条件。所以，无需怀疑该方法的准确性和全面性。

实践课：举个栗子

为了不至于那么唐突的下定论，也为了让禾粉更容易接受，我们还是举几个典型的例子，来说明一下奈奎斯特方法的准确性。

l左半平面单级点系统

单级点的传输函数如下，为了简化分析，我们后面所有的分析都默认反馈系数β=1。

由波特图可知，如果极点位于左半平面，相位裕度始终>90°，所以单级点(左半平面)系统是无条件稳定的。

下面用奈奎斯特稳定性分析方法，看看能不能得到一致的结果。

先在s平面给自变量s=σ+j ω选一个轨迹，这里我们选择如下的四个典型的点，A(0,0j)、B(0,+∞j)、C(+∞,0j)、D(0,-∞j)

观察传输函数H(s)，四个点分别映射到H(s)后结果依次为：（A,0j）、(0,0^-j)、(0,0j)、(0,0⁺j)

注：这里的0^-代表-jω轴靠近原点的位置，同理0⁺代表+jω轴靠近原点的位置。

从H(s)的轨迹上可以得知， H(s)永远不