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多环路稳定性的一些新思考和新结论
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之前存疑的问题有几个，其中一个是：对于复杂的多环路系统，如何判断稳定性，当时没有想到好的方法，而只想到对具有公共节点的系统，可以在该节点断开环路。今天看来，这个结论似乎不完全准确。
首先需要一些预备知识。除了我们熟悉的传输函数，在信号与系统里还给出了状态变量法。从状态变量法可以知道，在任何一个系统中，任何两点之间的传输函数都存在唯一的一个多项式作为分母。因此用这个分母就可以作为判断系统稳定性的依据。这和传输函数中的环路增益其实是完全等效的。之前的难点就在于这个环路增益如何给出。纯用梅森公式没问题，但是对我们电路设计者来说没意义。最近的结论就是在这方面有所想法：如果在系统的任意一个位置断开并插入一个激励，那么可以知道输出就是A/(1+L)，而A=1，因此用这个方法就可以得到环路增益L。这与以前传统的单环路方法是完全一致的，因此这里的结论就只是说：以前的方法在现在仍然可以用，不用在意什么单环路多环路。
上面的结论看起来与我之前的一些结论矛盾，但再仔细思考下去就能发现一个更重要的问题。
之前之所以把多环路专门提出了，就是因为在多环路仿真中发现了一些特殊的现象：在不同位置断开对环路增益有影响。大家不妨自己构建一个多环路的系统去亲自计算一下。当构建好这个多环路系统后，不妨再算一算令分母为0的多项式，看看有什么特点。
在此可以提出一个新的结论：系统的稳定性与系统的稳定性表现是两个完全不同的概念。这是我现造的两个概念，目的是为了区分两件事：系统是否稳定（在闭环情况下是否有右极点），系统在闭环后受到激励的表现（是否有过冲，是否有长时间震荡等）。对第一件事情，只有唯一的一个判据，就是奈奎斯特判据。这就等效于观察上面让计算的分母为0的多项式。不同的环路增益有不同的曲线，但是他们有一个共同点，就是如果其中一个曲线能取-1的值，那么其他所有的曲线也必须能取到-1。对第二件事情，在正常情况下我们喜欢用phase margin之类的值来判断。但是不同的环路增益的PM是可以完全不同的，也不需要完全相同。你在一条曲线上看到90度，也许在另一个条曲线上就只能看到10度。
举个不太恰当的例子：系统的稳定性只是在问这个系统是生是死，这是这个系统的特征，而系统的稳定性表现是问这个系统是否健康，至于什么是健康，那就仁者见仁了。
因此对多环路系统，是可以在任意一点打开环路仿真稳定性，只要这个曲线的PM不为0度就可以下结论：这个系统是稳定的（这点似乎我还没有严格的证明，之前的想法有一个漏洞）。但是如果想考虑这个系统在时域的表现，那最好还是在各个点都打开环路检测一下。
另一个问题就是类似pll这样的系统，在DC上相位就为180度，从理论上说gain margin严重不对，为什么没人说它不稳定呢？同样一个类似的问题就是如果相位先下降再上升，那么是否稳定。其实这里问的都不完全是稳定性，而是稳定性表现。就这个问题，我也大概想了想，把思路放在这里。一个系统闭环后的时域表现，基本可以用Q值来反映。如果一个系统闭环传输函数中有一个地方增益格外的大，那么就说明它容易过冲或者震荡时间很长。而判断闭环增益，就可以用开环增益来看，这是一个矢量计算的简单过程。H=A/(1+L)。对pll这样的系统来说，在DC点可以算出来，H并没有异常增大。对普通系统来说，基本可以认为PM越小，闭环时在GBW处增益就异常增加的越多。一个简单的总结就是只有开环时增益接近1，相位接近180，闭环时就容易产生H的峰值。两个条件缺一不可。
附录：为了更详细的说明这个问题，给出一个实例
用上面一个典型的多环路图来说明。在V1和V2处断开，可以分别得到图中的公式。让我们先不要管什么bode图，奈奎斯特判据之类，先想想如果求V1到y的增益，求V2到y的增益，求x到y的增益，会是什么形式？很明显，在分母处一定是1/(1+L）的分母再乘以环路中某个增益的分母，并且注意到不同处断开求的的1/(1+L)的分母都是一样的。(这里似乎有些绕。这是由于L本身有可能依然是分数形式，因此1/(1+L)的分母并不是1+L，请参考图中的公式。)我们求的增益是什么？是闭环传输函数。因此判断稳定性只需要看这个多项式对应的根是否在右半平面。这就和状态变量法中推导的结果一致：任何一个系统，从任何一点到另一点的传输函数，其分母都可以写成一个共同的（1+L）的形式。如果开环时没有右极点，我们也就只需要考虑（1+L）的零点就可以了。
为了考虑1/（1+L）的极点，我们可以使用复变函数里的结论，去观察L是如何绕（-1，0）这个点运动的，这也就是乃奎斯特定理的意义。从上面可以看出，两个不同的L都可以用来看，只要其中之一能保证无右平面极点，另一个也能保证。但是这两个的PM，GM等未必需要一样。换一个意思就是从V1，V2，X等点加阶跃冲击，在Y处的响应可能会过阻尼也可能会欠阻尼。
这个问题可能过于复杂，许多读者也未必有相应的知识储备，所以总结观点如下：
0.预备知识：一个系统稳定与否，只取决于闭环传输函数中是否有右极点。为了判断是否有右极点，则需要用开环的环路增益（单环路情况）卷绕 -1的次数判断。对多环路，也有一个特征多项式，其地位与环路增益相同。
1. 一个多环路系统，在任何一点打开后给出一个非传统意义的环路增益，打开点的位置会影响该环路增益的形状。
2.但是该环路增益的形状尽管发生变化，由于闭环后是否有右极点是不变的，因此该环路增益卷绕-1的次数不变，因此可以用该环路增益判断是否稳定。
3.但在实际中，我们除了关心是否稳定，还关心在稳定情况下的时域表现。一般而言，可以用相位裕度来估计该时域表现。在不同点打开的环路增益的相位裕度是不同的。
4.在实践仿真中可以这么做， 在仿真中断开环路，可以仿真得到开环的环路增益L。
stb或者ac仿真给出的是开环增益，就是L。不同点断开，其L也是有差异的，请看图中公式的左半部分。但是闭环增益是A/(1+L)的形式，闭环增益的极点就是1+L的零点，因此令1+L=0求零点，可以看出不同L对应的方程是一样的，因此必然会有同样的零点。根据复变函数的定理，其L卷绕-1点的圈数是相同的（注意此处推导可能有个漏洞，并不严谨，需要以后分情况补上讨论）。所以说不同处开环得到不同L，其稳定性是相同的。稳定性怎么看？用相位裕度是否大于0来判断，或者更严格的，用卷绕-1的次数判断。
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关于这个多环路稳定性问题,放几个参考文献在这里.
1. Trans on power electronics "measurement of loop gain with the digital modulator" Jan 1986。 它认为要在环路公共点断开测量环路增益。
2. Trans on power electronics "topics in multiple-loop regulators and current-mode programming" Apr 1987。它认为不需要在公共点断开，而是可以在环路中任何一点断开。但是前提是小环路是稳定的。我比较赞同这个观点，和我的推断是类似的。
3. Trans on circuits and systems II " Determination of stability using return ratios in balanced fully differential feedback circuits" Dec 1995.它引用其他文献的结论，认为需要在不同点打开环路去衡量稳定性。但是它认为在某些情况下可以用一个单一的环路去评价，那就是在公共节点断开。我没有看它引用的文献。
4. Trans on education " a comparison of two approachs to feedback circuit analysis" Aug 1992. 这个和多环路没有关系，是讲return ration and loopgain的区别。放在这里是因为我blog里其实一直是按照信号流图来思考。但实际电路中不太可能是理想的信号流图那样结构。因此这之间还是有差异的。这个差异影响有多大，如何修正从信号流图来的结论，目前还没有思考过。
5. Trans on circuits and system I "signal flow graph in loop gain analysis of dc-dc pwm ccm switching converters" Jun 1998.这里认为多环路中存在不同定义的环路增益,但是它认为只有其中一种是对的,那么对应只有在某些特殊点断开才是有意义的.对此我认为它忽略了一种情况,就是不同的分母形式可以有相同的零点.
由此可见，不同人不同来源对这个多环路问题仍然有不同的看法。但是就目前我的推导来看，至少在信号流图上，如果内部小环路不存在稳定性问题，是可以在任意点断开看稳定性的。但是我们用环路增益不仅仅是为了看稳定性，所以不同点断开的细节是不同的。
发表评论 评论 (7 个评论)
- 回复 totowo
- 稳定与否主要只看closed-loop极点是不是都在右半平面，而有无过冲振铃等现象显然还取决于零点。在一个环路中，输入输出节点不同，closed-loop的传函必然不同。。。。。。。。。。但loop gain是相同的，phase magrin也只应该看loop gain。如果多环中loop gain确实难以定义，所以难以直接判断。很多复杂补偿，比如多级运放的paper里只推closed-loop的传函也是没有办法的事情，但光看closed-loop实际上是得不到phase margin的。所以很多复杂的电路大家最后都只run transient仿真了，呵呵。
- 回复 gaojun927
- 一个令人吃惊的信息是：早在近一个世纪前（1938年），bode就已经讨论或打算讨论过了这些内容。我今天刚下载了bode的书，粗粗看了看，感觉他的出发点应该也类似，从传输函数出发，而不是从A，beta出发。但是这么久时间过去了，传递到教科书上的内容比bode当年考虑的内容只少不多。甚至在90年代，middlebrook还在期刊上和别人争论多环路系统的稳定性（在开关电源领域）。也许是因为这个问题面太窄，也许是因为这个问题不适合成为一门课程，也许是因为这个问题过于交叉而成为三不管。不过幸运的是，如果从最基础的内容出发，基本还是能重新再造轮子的。
- 回复 yyyaaayyh
- 原帖由gaojun927于2016-06-18 21:02:17发表 一个令人吃惊的信息是：早在近一个世纪前（1938年），bode就已经讨论或打算讨论过了这些内容。我今天刚下.控制理论说的很清晰，充分必要条件只有一个，R-H判据，流图上看，不同断开点都会缺失一定的负载信息。
- 回复 gaojun927
- 原帖由yyyaaayyh于2016-07-02 18:31:57发表 原帖由gaojun927于2016-06-18 21:02:17发表 一个令人吃惊的信息是：早在近一个世纪前（1938年），bode就.RH判据在工程上几乎不使用，因为要得到一个多项式的准确系数，再用几步去计算，理论上很严格，实践中很困难，因此大家更喜欢bode图。其实微电子课程中应该将bode图从w平面扩展到s平面，这样能给学生更准确的信息，这时候应该和RH判据基本等效。实际很多微电子的学生并没有系统学习过完整的控制相关内容，而是从gray，razavi等人的书中间接学习bode图一点点相关知识。即使在控制相关的书中，我看到的也是对多环路稳定性的一笔带过，可能原因还是没有完全可靠方法。如果仔细看我文中的内容，就会发现我说的和bode图一样，里面隐含了很多前提，而这些前提其实有时更重要。
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