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模拟学习笔记——零极点分析(2、s域,频域和时域的关系)

热度 20已有 1271 次阅读| 2023-11-9 17:29 |系统分类:芯片设计

每次想弄清楚零极点的物理本质是什么,如何对系统产生影响(大学信号与系统没好好学),网上找一下相关内容,总能看到 ”Hs=A0/(s+a)  极点为s=-a   s=jw  所以w=a时增益-20db/十倍频 “类似的结论。虽然也可以分析电路,但仔细想一想总让人一脸懵逼。s不是等于σ+jw吗,怎么变成了jw,jw又变成了w,而且w=-a又变成了w=a。每次都想把信号与系统重新学一遍(只能怪自己大学摸鱼去了),但看着厚厚的上下册,拖了又拖...... 最近刚好空一点,整理了一些相关内容。

傅里叶变换和拉普拉斯变换:

傅里叶变换:将时域函数转换为不同频率的正弦波的叠加。

(具体可以看看知乎大佬的介绍 https://zhuanlan.zhihu.com/p/317237264

     image.pngimage.png

拉普拉斯变换

由于傅里叶变换的局限性,要保证f(t)收敛,因此对于非收敛的函数,添加一个衰减因子e-σt,使函数在t→∞时,f(t)→0。然后再进行傅里叶变换。image.png

                      image.png


极点的意义:

 H(s)=H0/(s-a)   极点s=a         对应的时域原函数:Ht=H0*e^at   

 由上述分析可知,Hs是Ht×衰减因子做傅里叶变换得到,Gt=H0*e^at*e^-σt=H0*e^-(σ-a)t   要使Gt收敛,则必须σ>a。

 因此可知道极点s=a,是σ+jw=a  ,并非jw=a。即σ=a。

 极点代表的时域函数可进行拉式变换的收敛域,σ需在极点的右方(见下图,execl做的简易示图,勿喷):

(对于虚数极点s=a+bj,代表σ=a,w=b,a反应衰减速率,b反应震荡频率,虚数极点后续有时间再具体分析)

                               image.png

图中阴影部分为收敛域,a1为左半平面极点,收敛域在a1右侧,a2为右边平面极点,收敛域同样在右侧。

由此可由极点位置判断系统稳定性:

  左半平面极点:收敛域经过原点,说明σ=0时,时域函数f(t)* e^-σt 收敛,即f(t)收敛。

  右半平面极点:收敛域大于零,说明f(t)* e^-σt  中σ必须大于0才收敛,即f(t)不收敛。


另一个问题,为什么s=σ+jw   又有s=jw。其实也就是s域函数与电路的频率响应的转换。

根据拉式变换的微分性质可知道电容的s域参数=1/sc

交流时电容容抗Zc=1/jwc

因此s=jw  只是分别在s域和频域里数学形式上相同,电感同理。  

因此知道传输函数Hs,令s=jw可得到电路的频率响应H(w) (此Hw并不是傅里叶变换的Hw)

有了频响函数,电路的幅频特性,相频特性都能很简单的计算出来。(见上一篇)

9

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刚表态过的朋友 (9 人)

发表评论 评论 (9 个评论)

回复 wkp1992101 2023-11-13 09:23
日拱一卒  0.0
回复 CCT111 2023-11-13 10:26
wkp1992101: 日拱一卒  0.0
哈哈,这位兄弟的卒应该快到将旁边了。
回复 xm123 2023-11-14 23:58
  
回复 m8510a 2023-11-22 16:18
拉式反变换的系数是不是1/2*pi*j,而不是1/2*pi,我去确认一下
回复 m8510a 2023-11-22 16:28
写的真好
回复 m8510a 2023-11-22 16:32
重点解释了为何左半平面的极点能使(时域)传递函数收敛,而右半平面的极点则不能。
回复 CCT111 2023-11-23 18:31
m8510a: 拉式反变换的系数是不是1/2*pi*j,而不是1/2*pi,我去确认一下
分母是有个j,dw换成ds时有一个dw=1/j*jdw=1/j*ds,这里会出现一个1/j,多谢提醒。
回复 m8510a 2023-11-24 09:08
CCT111: 分母是有个j,dw换成ds时有一个dw=1/j*jdw=1/j*ds,这里会出现一个1/j,多谢提醒。
你总结的真实用和到位,感谢分享
回复 CCT111 2023-11-24 09:56
m8510a: 你总结的真实用和到位,感谢分享
就把书上的东西抄了一下

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