首先这是个很有意思的讨论过程。

各种教材中对复指数信号e^(jw0t) 傅里叶变换描述为 2πσ(w-w0)，其中σ(w)表示冲击信号(持续时间无穷小幅度无穷大能量为1)

讨论中只是从正变换或反变换其中一个角度给与了说明。

无法从全面的角度证明正变换或反变换的结果是一个冲击。

由于冲击函数是一个奇异函数，即无法给出一个确定的值，而只能从它的性质给出定义，所以如果能够证明

它的积分区间[-∞，t]积分结果等于阶跃函数u(t)，则说明这是给冲击信号。

首先我们讨论冲击信号的傅里叶变换，正变换容易得结果是1,问题主要集中在如何证明1的傅里叶反变换是个冲击信号。

把公式列出，得到一个二重积分，只要证明这个二重积分是阶跃信号u(t)即可。

 {∫[(1/2π)∫e^(jwτ)dw]}dτ

 注意[]里面积分区间是[-∞，+∞]，是傅里叶反变换标准公式

 注意{}最外面积分区间是[-∞，t]，用于证明积分结果是个阶跃信号

1. 如果t<0，可以知道[]积分结果为0. 原因是e^(jwτ)中τ是个小于0的常量，对于w来是个周期函数

   在每个周期积分都是0，所以即使积分区间是[-∞，+∞]，结果仍然是0

   其实如果τ是个大于0的常数，结果仍然是0，意味着只有τ=0时结果才非0

2. 如果t>0, 由于不管t>0取多么小的值，总能找到[-Δ/2,+Δ/2]这个区间，使得+Δ/2<t

   把积分区间由[-∞，t] ---> [-Δ/2,+Δ/2],根据1的分析，不影响积分结果

   然后交互积分次序，先对变量dτ进行积分，得到结果

   {(1/π)∫[sin(w*Δ/2)/wdw

   根据公式∫sinx/xdx=π/2

   可以得到上述积分结果等于1

 至此，从正反两个方面证明了傅里叶变换对 σ(t) --- 1

 根据对偶性质得到 1 --- 2πσ(w)

 根据频移性质得到 e^(jw0t) --- 2πσ(w-w0)