当ζ取不同的值时，该系统的阶跃响应会是怎样的呢？设计如下所示的Matlab代码。仿真波形如图1所示，三维波形如图2所示。

% G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωn s+ωn^2 ).whenωn=1,research unit-step response

% with different ζvalues.

%------------------------------------------------------------------------

t=0:0.2:10;

zt=[0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

for n=1:6

    num=[1];

    den=[1 2*zt(n) 1];

    [y(1:51,n),x,t]=step(num,den,t);

    [y(1:51,n),x,t]=impulse(num,den,t);

end

plot(t,y)

grid

title('plot of unit_step response curves with \omega_n=1 and \zeta=0.1,0.2,0.4,0.6.0.8,1.0')

xlabel('t secs')

ylabel('response')

text(3.7,1.7,'\zeta=0.1')

text(3.5,0.8,'\zeta=1.0')

% to plot a three-dimensional diagram,enter the command mesh(t,zeta,y')

figure(2)

mesh(t,zt,y')

title('three-dimensional plot of unit-step response curves')

xlabel('t secs')

ylabel('\zeta')

zlabel('response')

图 2 ζ取不同值时的三维图形

当ζ从0不断增大时，系统将逐渐从欠阻尼状态（0＜ζ＜1）过渡到临界阻尼状态（ζ=1）再过渡到过阻尼状态（ζ＞1）。

观察闭环阶跃响应曲线，当ζ＜0.6时，系统表现出很大的减幅振荡；当ζ≥0.6时，系统趋于稳定，可以看到ζ=1.0时已非常稳定。也可以发现，当系统的稳定性有保障之后，响应速度随着ζ越大而越来越慢。在工程控制中，为了平衡系统稳定性和响应速度，ζ一般取0.707。

02  频域

ζ=0.707时，系统的稳定性和响应速度之间达到最好的折衷，此时闭环频率响应的平坦区范围可到ωn；

ζ=0.707不一定是所有二阶系统的最优选择 ，在稳定性得到保障之后，ζ具体取多大还要看实际系统的具体需求；

一个不稳定的二阶系统，很可能会在ωn附近出现振荡行为；

使用Matlab可以对任意已知传递函数的系统进行阶跃响应、脉冲响应、斜坡响应的分析。脉冲响应可直接使用impulse(num,den,t）命令。斜坡响应较为复杂，没有直接的命令可用。这时就需要进行公式转换，斜坡响应的拉普拉斯表示为1/s2，将其乘以G(s)得到G(s)/s2，因此G(s)的斜坡响应可通过G(s)/s的阶跃响应得到。