charlie_zhang的个人空间 http://blog.eetop.cn/910906 [收藏] [复制] [分享] [RSS]

日志

关于周期函数傅里叶变换的证明

热度 10已有 1306 次阅读2021-1-25 11:39 |个人分类:协议理解|系统分类:其他| 傅里叶变换

首先这是个很有意思的讨论过程。

各种教材中对复指数信号e^(jw0t) 傅里叶变换描述为 2πσ(w-w0),其中σ(w)表示冲击信号(持续时间无穷小幅度无穷大能量为1)

讨论中只是从正变换或反变换其中一个角度给与了说明。

无法从全面的角度证明正变换或反变换的结果是一个冲击。

由于冲击函数是一个奇异函数,即无法给出一个确定的值,而只能从它的性质给出定义,所以如果能够证明

它的积分区间[-∞,t]积分结果等于阶跃函数u(t),则说明这是给冲击信号。

首先我们讨论冲击信号的傅里叶变换,正变换容易得结果是1,问题主要集中在如何证明1的傅里叶反变换是个冲击信号。

把公式列出,得到一个二重积分,只要证明这个二重积分是阶跃信号u(t)即可。

 {∫[(1/2π)∫e^(jwτ)dw]}dτ

 注意[]里面积分区间是[-∞,+∞],是傅里叶反变换标准公式

 注意{}最外面积分区间是[-∞,t],用于证明积分结果是个阶跃信号

  1. 如果t<0,可以知道[]积分结果为0. 原因是e^(jwτ)中τ是个小于0的常量,对于w来是个周期函数

    在每个周期积分都是0,所以即使积分区间是[-∞,+∞],结果仍然是0

    其实如果τ是个大于0的常数,结果仍然是0,意味着只有τ=0时结果才非0

  2. 如果t>0, 由于不管t>0取多么小的值,总能找到[-Δ/2,+Δ/2]这个区间,使得+Δ/2<t

    把积分区间由[-∞,t] ---> [-Δ/2,+Δ/2],根据1的分析,不影响积分结果

    然后交互积分次序,先对变量dτ进行积分,得到结果

    {(1/π)∫[sin(w*Δ/2)/wdw

    根据公式∫sinx/xdx=π/2

    可以得到上述积分结果等于1

 至此,从正反两个方面证明了傅里叶变换对 σ(t) --- 1

 根据对偶性质得到 1 --- 2πσ(w)

 根据频移性质得到 e^(jw0t) --- 2πσ(w-w0)

评论 (0 个评论)

facelist

您需要登录后才可以评论 登录 | 注册

关闭

站长推荐 上一条 /1 下一条

小黑屋| 关于我们| 联系我们| 在线咨询 |  EETOP 创芯网 ( 京ICP备:10050787号 京公网安备:11010502037710 )

GMT+8, 2021-3-6 16:36 , Processed in 0.028983 second(s), 8 queries , Gzip On, Redis On.

返回顶部