Ref：1. https://www.zhihu.com/question/35621797

2、非线性建立与线性建立时间-up主NKSUNMOON

一、引言

运放的小信号带宽和大信号带宽是不一样的，但都对运放从速度方面提出了要求。小信号带宽反映的是电路的线性建立过程，但从时域上看是一个指数逼近的过程。在讨论小信号带宽时总会说到时间常数，那时间常数和小信号带宽是有什么样的关系？

大信号带宽反映输出能跟随的最大输入信号频率，其与运放的压摆率有关。因为压摆率限制了输出slew时的最大斜率，若输入频率过大，输出将无法跟随输入变化。

不过实际建立过程应该是大信号+小信号，因此在总建立时间下要对两者进行分配。

下面就对小信号带宽、电路时间常数对电路响应速度的影响、反馈中的小信号建立对运放GBW和gm的设计要求、大信号带宽对压摆率的要求、建立时间的分配进行说明。

二、小信号带宽、时间常数和响应速度的关系

以一个RC电路说明带宽和响应时间（响应速度）的关系：

求电路的传递函数：

将传递函数求模后得到幅度的频率响应公式：从公式可以看出低频时模值为1，w=1/RC时，模值下降为1/，换算成dB20的话就是-3dB，也就是常说的-3dB点。

当电路的输入为一个单位阶跃响应时，其输出变化为下式

可见 R1C1 值越大，输出达到V0所需的时间越长。因此带宽越小，输出达到V0所需的时间也就越长，即电路速度较慢。因此带宽和速度的变化是一致的，电路带宽越大，响应时间越小，速度也越大，都与 时间常数τ=RC 有关，而3dB带宽w=τ-1，所以时间常数大，带宽小，速度慢。

三、反馈系统对运放小信号带宽的要求（GBW）

以拉扎维书上P310的例子进行说明：

根据书中计算，在运放是单极点放大器的前提下且假设输出建立过程是完全的小信号线性建立（无slew），其闭环传递函数如下：

从闭环传递函数可以看到该闭环系统也是个单极点系统，其时间常数近似为：

当输入为幅度为a的阶跃输入时，输出阶跃响应为

输出终值为VF=a(1+R1/R2)，对于1%的建立精度，即Vout=0.99VF，所以：

从而

对于建立精度是1%和建立时间为5ns，则τ=1.09ns，所以从时间常数公式τ=w-1=[(1+βA0)w0]-1≈(βA0w0)-1=[βGBW]-1(其中w为闭环系统的-3dB带宽，A0为运放增益，w0为运放-3dB带宽)，可以得到对运放GBW的要求，GBW=A0w0=（1+R1/R2）/τ=1/（βτ），此时GBW单位为rad/s，还需除以2π得到Hz下的值。结合负载电容可以得到对输入管gm=CL/（βτ）的要求。

因此对运放小信号带宽（GBW）的要求取决于建立精度、建立时间（由建立精度和建立时间得到τ）和闭环增益（1/β），且GBW=A0w0=1/（2π*βτ）（Hz）。再结合负载电容可以得到对输入管gm=CL/（βτ）的要求，结合输入管gm和Vdsat可以得到输入管电流和宽长比的要求。

四、大信号带宽对压摆率的要求

大信号带宽表示输出能跟随的最大输入信号频率，这对运放的压摆率提出了要求。压摆率越高，表示能够跟上的输入信号频率越高。

 假设输入信号为正弦信号：

求导之后就得到了输入信号变化的速率。

如果输出信号能够跟上输入信号的变化，则要求：

那么输入信号的最大频率为：

这就是大信号带宽（功率带宽）。

如果频率超过最大值，则会出现如下情况：

从图中可以看到，输出信号功率相比于输入信号功率出现了较大程度的衰减。这也是叫做功率带宽（Power Bandwidth）的原因。

四、非线性建立和线性建立时间的分配

一种经验分配方式：

1.总建立时间=时钟周期的一半*2/3=T/3；非线性建立时间=总建立时间*1/3=T/9。

2.非线性->线性的过渡点不好衡量，实际设计时是用T/9的时间达到最终输出电压值VF来计算摆率slew rate=VF/(T/9)=I/C，由此根据所需要的摆率结合负载电容计算电流大小。同时把整个总建立时间全作为非线性建立时间，结合四中所述的小信号建立时间和精度对GBW、输入管gm和Vdsat的需求来算出一个电流值，两个电流值取大的那个。

从建立时间的分配上引出两种运放的设计方式

1.一种是整个过程都是非线性建立，但功耗更大。例如下图，因为压摆率受限的原因是差分输入很大时一侧管子完全截止。所以这里希望差分输入很大时左右也不会截止，所以为了输出1uA的差分电流则要求左右两侧都需要通过一定电流，例如总电流为5u，此时左3u右2u就可以差分输出1uA。但这样功耗更大。

2.一种是先非线性后线性，放松对摆率的要求，功耗低。例如下图，同样需要输出1uA，一开始左侧1u，右侧没有，差分输出1uA，所以尾电流源只要1uA。

两种方法下通常选择后者，因为建立时间不会差太多，而功耗节省很多。