以NMOS为例，推导与跨导gm相关的公式。NMOS管作为共源极放大管且工作在饱和区，其漏端电流Id公式为

------------------------------------------------------------公式1.1

根据跨导的定义，将公式1.1对Vgs进行求导，则有

------------------------------------------------------------公式1.2

将公式1.2中的晶体管尺寸W/L用公式1.1变换的形式替换，则有

------------------------------------------------------------公式1.3

将公式1.2中的过驱动电压Vgs-Vth用公式1.1变换的形式替换，则有

------------------------------------------------------------公式1.4

公式1.2，公式1.3和公式1.4都可以得到跨导gm，那该怎么用？

在一个电路中，如果晶体管相关的参数已知，用任何一个公式求解跨导gm得到的结果应该都是一样。针对某一工艺某一类型的晶体管，迁移率μn和单位面积的栅氧化层电容Cox就唯一确定了。而漏端电流Id，晶体管尺寸W/L，过驱动电压Vgs-Vth，三者是相互制约和相互影响的。在电路设计前期，一般是用公式1.2，基本思路是：

在晶体管尺寸W/L选定之后，能影响漏端电流Id的变量只有过驱动电压Vgs-Vth，Vgs-Vth越大，漏端电流Id越大，跨导gm越大，用到的还是公式1.2。而公式1.3和公式1.4中含有漏端电流Id，Id也是随着过驱动电压Vgs-Vth和晶体管尺寸W/L变化的。

在某些情况下，晶体管的漏电流Id已经确定，最常见是由运放的尾电流决定了。这时候根据公式1.3和公式1.4，跨导gm随着晶体管尺寸W/L增加，同时过驱动电压Vgs-Vth减小，而增大。在公式1.3中，如果漏端电流Id是恒定的，那么减小过驱动电压Vgs-Vth，就意味着晶体管尺寸W/L必须增加。公式1.4的情况类似。因此，晶体管的漏端电流Id给定，同时晶体管的尺寸W/L也确定了，那跨导gm确定了。

工艺文件中常见的几种阈值电压，包括Vth_lin、Vth_sat和Vth_gm。

阈值电压Vth_lin是晶体管工作在线性区，当晶体管刚开始导通电流时对应的栅电压，即Vth_lin==Vg@Is=10nA*W/L, Vd=0.05V, vs=vb=0。

阈值电压Vth_sat是晶体管工作在饱和区，当晶体管开始导通电流时对应的栅电压，即Vth_sat==Vg@Is=10nA*W/L, Vd=power, vs=vb=0。

由于晶体管工作饱和区的电流驱动能力比工作在线性区的电流驱动能力强，因而有Vth_sat<Vth_lin。

阈值电压Vth_gm是晶体管工作在线性区，跨导gm最大时对应的栅电压，即Vth_gm==Vg@gm_max, Vd=0.05V, vs=vb=0。具体求解过程如下。

NMOS管作为共源极放大管且工作在线性区，其漏端电流Id公式为

------------------------------------------------------------公式1.5

根据跨导的定义，将公式1.5对Vgs进行求导，则得到NMOS线性区的跨导为

------------------------------------------------------------公式1.6

将公式1.6代入公式1.5，则有

------------------------------------------------------------公式1.7

公式1.7可以看作晶体管工作在线性区的Id-Vgs曲线。也可以看作一系列直线方程，该直线方程经过Id-Vgs曲线的某一点，并以该点的切线，即跨导gm，为直线方程斜率。当跨导gm为最大值时，所对应的直线方程与x坐标轴的交点减去Vds/2就是阈值电压Vth_gm。

从这几个定义的阈值电压，可以看出某工艺的晶体管什么特性呢？Q1：为什么需要定义这么多的阈值电压？

首先，阈值电压不是始终不变的恒量。它会随着pvt，静态工作点，工作区域等变化。

不同的阈值电压定义可以满足电路设计，在不同需求情况下通过阈值电压评估该类型的晶体管，比如晶体管工作在线性区/饱和区。

Q2：为什么保持Id不变的情况下，提高W/L却无法无限提高gm呢？

在MOS管子类型选定后，很多参数都确定的，饱和区电流公式Id=0.5uCox(W/L)(Vgs-Vth)^2.电流确定，W/L增加，那么只能过驱动电压(Vgs-Vth)减小，才能让电流Id保持不变。根据gm=2Id/(Vgs-Vth)。因为过驱动电压不能无限小。应该说太小的管子进入亚阈值

以上来自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/115560919

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1、Vth_gm是用gm法推导出来的，推导时Vds置于线性区Vdlin，通常为0.1V,扫Vgs从截至区到Vgg，得到ID-VG曲线，在此曲线上找到gm最大点，在该点做切线与VGS轴相交，交点VG再减去0.5*Vdlin就是Vth_gm值。具体可参考Narain Arora的MOS器件模型的书，需要从MOS特性的角度推导出ID-VG的关系，就能明白其意义了，特别是最后要减去0.5*Vdlin的原因。

Vth_lin是用所谓的固定电流法得来，常用的判据是0.1uA*W/L，Vds置于Vdlin,扫Vgs从0-Vgg，当Ids等于前述判据时即认为Vgs=Vth_lin
Vth_sat与前述Vth_lin用同样方法得来，只不过提取时Vds置于饱和电压Vdd。
具体的内容请参考Narrain Arora的《用于VLSI模拟的小尺寸MOS器件模型理论与实践》。

2、3个VT 是有细微差别的，Vt-lin/Vt-Gam/Vt-sat 在实际测试数值上满足(以NMOS为例)： Vt-gm<Vt-liin<Vt-sat, 这个差别是测试所在的工作区域造成的，
      阈值电压Vth_lin是晶体管工作在线性区，当晶体管刚开始导通电流时对应的栅电压，即Vth_lin=Vg@Id=0.1uA*W/L, Vd=0.05V, vs=vb=0。阈值电压Vth_gm是晶体管工作在线性区，跨导gm最大时对应的栅电压，Vth_gm=Vg@gm_max, Vd=0.05V, vs=vb=0。阈值电压Vth_sat是晶体管工作在饱和区，当晶体管开始导通电流时对应的栅电压，即Vth_sat=Vg@Id=0.1uA*W/L, Vd=power, vs=vb=0。由于实测时晶体管工作饱和区的电流驱动能力比工作在线性区的电流驱动能力强，因而有Vth_sat<Vth_lin。而Vt-Gm 是严格意义上的Vt, 比Vt-lin 恒定电流法要更加精确，因此Vt-gm 实测数值<vt-lin, 更接近于理论实际Vt

以上来自EETOP：https://bbs.eetop.cn/thread-451559-1-1.html 

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Vth_sat

以上来自Keysight Knowledge Center：https://edadocs.software.keysight.com/display/mqa2012/Vth_sat

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