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从线性时不变系统到线性周期时变系统（前言）

热度 4已有 25928 次阅读| 2016-1-20 21:24 |个人分类:模拟电路设计

我们微电子的模拟课程基本上建立在线性时不变系统的分析上，信号与系统整整一本书基本都在讨论线性时不变系统，而电路分析的课程则将该理论应用到具体的应用中，例如gray的书，很多时候就是讨论传输函数，稳定性。因此我之前也说过，如果要选择一个最重要的概念来解释，那就是线性时不变。

但是在具体电路设计中，线性时不变其实只是一部分，我们遇到的很多系统是非线性，非时不变的。通常的做法就是把非线性小信号化，成为线性，把时变平均化，成为时不变。但是这些方法还是和真实的系统存在一定的偏差，那么偏差在哪里，什么时候偏差比较重要，什么时候可以忽略，这些问题说实话并没有人系统的讲解过。我想主要原因在于这个问题目前还没有普遍的解法。

在这个大问题之下，把我们的目标进一步缩小，针对线性周期时变系统，目前应该是有相对成熟的理论。cadence中的pss及其相关的分析就是一个应用实例。而虽然范围小了很多，但是这种系统也是相对常见的。开关电容电路，开关电源电路，pll电路，基本上都可以用这个系统来解释，这也是pss分析的目标电路。

但是即使是这种相对成熟的理论，也找不到比较合适的书来讲解其背后的原理。如果不知道原理，看着那么多选项，我想很多人仍然可以做出仿真，就像我们并不完全清楚tran仿真中trap，gear算法是用了哪个公式一样。但是如果能知道其背后的原理，我们也许可以更好的理解这个仿真以及仿真的结果，就像我们能大概了解trap，gear的优缺点一样。

最近无事，胡乱看了看相关的材料，觉得也许想清楚了一些问题，但是还有一些问题仍然没搞明白，所以准备在以后讨论一些相关的理论内容，对自己的好奇心也是一种交代。

作为讨论的引子，让我先来说一说一些我们可能习以为常，但是其实和线性周期时变系统分析相关的例子。

在开关电容电路里，几乎每个课本都会讨论一个开关电容，可以等效成一个电阻。那么问题来了，这个等效成电阻是什么含义？为什么OTA设计时又不认为它是个电阻，不会影响增益。这种“物理”性质的理解有时候可以帮助我们理解，但是再深入下去我觉得引发了困惑，因为它不严格。

在开关电容电路里，当负载是开关电容时，该如何讨论前级的驱动能力呢？当然我们可以分相位讨论，但是为什么这里需要分相位讨论，而不是状态平均呢？当前级是ref电路，后级开关电容上有信号时，还存在ref建立不足引入的谐波，这个谐波如何定量讨论呢？（谐波通常表明有非线性过程，因此不能完全被线性周期时变理论框架解释，但是可以类比线性时不变过程中的讨论）

在开关电容电路里，我们需要讨论运放的稳定性。我们可以在每个相位讨论，可以用pstb讨论，可以把开关电容等效后讨论，这几种讨论有什么关系和区别？

在pll电路里，讨论系统函数通常是等效为线性时不变系统。但是gardener也给出了一个离散化的讨论结果，两者不完全等价。为什么两者会有不等价的情况，但是在很多时候两者又是近似相等的？有人会说是带宽决定。那么在带宽不是很窄的情况下发生了什么事情。

在开关电源设计中，使用状态平均法来将系统转为时不变。这个状态平均法的条件是什么，与pss，pac又是什么关系。同样是开关电源设计，在电流模中，状态平均法在高频处有问题，一种解决方案是用一个采样过程来描述，另一种是将这个采样过程近似展开继续用线性时不变系统近似。那么为什么会出现采样过程？似乎采样过程在pll的分析中也出现过，也起到了更精确的作用，这里是否有关联存在。

进一步，在周期时变中噪声如何分析？pnoise给出的分析是什么含义，如果一个简单系统，是否可以手工算出噪声？在understanding delta sigma adc的最后给出了一个开关电容算噪声的例子，在那个例子里是分相位计算，这与线性周期时变的普遍理论有什么关系？

可以看出，上面的问题要完美解答，需要一个线性周期时变系统的数学基础。有的问题还需要非线性系统线性化的一些理论基础。

在之后的blog里，计划对上面的问题尽可能做出相对严格的回答。当然也有一些问题目前自己还不清楚，希望有了解相关内容的同行可以一起讨论。

目前脑海里的一个大纲如下：

0. 线性时不变系统的分析方法

1. 从大信号非线性系统到线性小信号系统

2. 线性周期时变的分析方法之一：脉冲响应

3. 线性周期时变的分析方法之二：频率响应

4. 线性周期时变系统与采样的结合

5. 脉冲响应与频率响应的关系

6. 噪声与线性周期时变系统

7. 理论分析与实践的结合

(未完待续）

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发表评论评论 (14 个评论)

回复 1973 2016-1-25 18:19: 期待后面的内容，这些东西是应该好好探讨一下了

回复 todkee 2016-1-29 16:17: 写得好！

回复 ccic 2016-4-22 09:31: 学习了，从控制系统的高度来理解电路和仿真，对于开关电容电路也是很困惑，不知道有什么好的资料可以学习~

回复 yyyaaayyh 2016-6-10 22:03: 关于这个我研究的也很多，当时为了搞清楚，几乎翻遍了控制理论。又做了几个系统的理论推导并结合仿真器仿真，最后终于做到了结果和仿真的一致性.......然而并没有什么用处，知道仿真器的求解方式，其实已经不用去怀疑结果了。

回复 gaojun927 2016-6-18 20:34: 原帖由yyyaaayyh于2016-06-10 22:03:28发表关于这个我研究的也很多，当时为了搞清楚，几乎翻遍了控制理论。又做了几个系统的理论推导并结合仿真器仿.
愿闻其详。我写这些也是希望抛砖引玉，有人能讨论一下。

回复 yyyaaayyh 2016-7-2 18:23: 原帖由gaojun927于2016-06-18 20:34:50发表原帖由yyyaaayyh于2016-06-10 22:03:28发表关于这个我研究的也很多，当时为了搞清楚，几乎翻遍了控制理.
我当时是用PLL和开关电容论证的。最近比较忙，忙完了可以再讨论。其实熟悉整个控制理论的话，结论还是比较自然的。

回复 yyyaaayyh 2016-7-2 18:26: 原帖由gaojun927于2016-06-18 20:34:50发表原帖由yyyaaayyh于2016-06-10 22:03:28发表关于这个我研究的也很多，当时为了搞清楚，几乎翻遍了控制理.
留个邮箱吧，写的宏模型和电路可能找不到了，书找找应该还有。

回复 gaojun927 2016-7-9 08:23: 原帖由yyyaaayyh于2016-07-02 18:26:38发表原帖由gaojun927于2016-06-18 20:34:50发表原帖由yyyaaayyh于2016-06-10 22:03:28发表关于这个我研究.
good。邮箱已留。大提纲在这里写了很久，但是因为过了年比较忙，而且有些内容觉得没有整理清楚，所以一直没动手写。这就是所谓的立了flag必然出问题的现象吗？感觉到了周期线性时变，有时觉得物理图像很清楚，但是数学有问题，没有很好的手段处理。或者写来写去，只是等价变换，没有更有意思的信息在里面。